通过 $M^{\sharp}$ 函数的一-sided $C_{p}$ 估计

我们回顾 $w\in C_{p}^{+}$ 的定义：若存在 $\varepsilon>0$ 与 $C>0$，使得对任意满足 $c-b<b-a$ 的 $a<b<c$ 以及任意可测集 $E\subset(a,b)$，下式成立 $$\int_{E}w\leq C\left(\frac{|E|}{(c-b)}\right)^{\varepsilon}\int_{\mathbb{R}}\left(M^{+}\chi_{(a,c)}\right)^{p}w<\infty.$$ 该条件由 Riveros 与 de la Torre 引入，作为 Muckenhoupt 与 Sawyer 最早研究的 $C_{p}$ 条件的一-sided 对应。本文中我们证明，给定 $1<p<q<\infty$，若 $w\in C_{q}^{+}$ 则 $$\|M^{+}f\|_{L^{p}(w)}\lesssim\|M^{\sharp,+}f\|_{L^{p}(w)}$$ 反之，若此类不等式成立，则 $w\in C_{p}^{+}$。