粗糙齐次奇异积分与稀疏形式的 $C_p$ 估计

我们考虑粗糙齐次奇异积分 $T_\Omega$ 与 $C_p$ 权重的 Coifman--Fefferman 不等式。Li-Pérez-Rivera-Ríos-Roncal 最近证明了对于每一个 $0< p < \infty$ 与每一个 $w \in A_\infty$，有 $$\|T_\Omega \|_{L^p(w)} \le C_{p,T,w} \|Mf\|_{L^p(w)}$$。我们的第一个目标是在不使用外推理论的情况下，将该结果推广到每一个 $w \in C_q$，其中 $q > \max\{1,p\}$。尽管我们证明的界即使在定性意义上也是新的，我们也给出了关于 $C_q$ 特征的定量界。我们的技术依赖于稀疏控制理论的最新进展，并且我们实际上对稀疏形式证明了我们的大部分估计。我们的第二个目标是继续对 $C_p$ 类进行结构分析。我们考虑 $C_p$ 权重的一些弱自改进性质以及弱与二进 $C_p$ 类。我们也重访并推广了 Kahanpää 与 Mejlbro 的一个反例，他们证明了 $C_p \setminus \bigcup_{q > p} C_q \neq \emptyset$。我们将他们的构造与 Lerner 的技术相结合，定义了一个显式的权重类 $\widetilde{C}_p$，使得 $\bigcup_{q > p} C_q \subsetneq \widetilde{C}_p \subsetneq C_p$，并且每一个 $w \in \widetilde{C}_p$ 满足 Muckenhoupt 猜想。特别地，我们给出了一个不同的、自包含的证明，说明 $C_{p+\varepsilon}$ 条件对于 Coifman--Fefferman 不等式并非必要，并且我们的思想允许我们考虑高于 $1$ 的维数。