轴对称爱因斯坦方程的适定性、线性扰动与质量守恒

对于爱因斯坦方程的轴对称解，存在一种规范，其显著性质是总质量可以表示为类空切片上的一个守恒、正定的积分。该质量积分提供了对整个演化过程中变量的非线性控制。在此规范下，爱因斯坦方程简化为一个耦合的双曲-椭圆系统，该系统在轴线上具有形式奇异性。作为分析该方程组的第一步，我们研究了平坦背景上的线性扰动。我们证明线性方程简化为一个非常简单的方程组，通过质量公式，为完整系统的结构提供了有用的见解。然而，系数在轴线处的奇异行为使得从解析角度研究该线性系统变得困难。为了理解解的行为，我们研究了它们的数值演化。我们提供了强有力的数值证据，表明该系统是适定的，并且其解具有预期的行为。最后，该线性系统使我们能够构建一个模型问题，该问题本身具有物理意义，因为它与轴对称黑洞解的线性稳定性相关。该模型可以显著促进非线性问题的解决，同时似乎也是可处理的。