关于 Mock Theta 函数的唯一性

我们针对 mock theta 函数跨越其自然边界的唯一延拓问题发展了一种 resurgence 方法。出发点是将相关的 Mordell-Appell 积分表示为 resurgence 函数的 Laplace 变换，这些函数作为主要的解析对象。通过将 Laplace 围道旋转 $\pi$（即旋转至 Stokes 线上），在所有已知情况下，可以得到 Mordell-Appell 积分与相应的 $\hat q=e^{-\pi i \tau}$ 和 $\hat q_1=e^{-\pi i (-1/\tau)}$ 单级数之间的 mock 模关系。然后我们证明，这些关系在 $q$ 侧存在唯一解，该解以 $q=e^{\pi i \tau}$ 和 $q_1=e^{\pi i (-1/\tau)}$ 表示，其系数由相应的 Mordell-Appell 积分确定。这产生了跨越自然边界的典范延拓，由关系持久性经典原理的 resurgence 扩展给出，并在每个群中挑选出一族特殊的 mock theta 函数。我们对 3 阶和 5 阶情况（mf3 和 mf5）给出了完整的分析。该方法自然地推广到更高阶；一般理论将在另一篇文章中给出。