雅可比三重积、mock theta函数、单峰序列与$q$-括号

在拉马努金写给哈代的最后一封信中，他列举了一种他称为“mock theta函数”的奇怪新类别的无穷级数的例子。事实证明，所有这些例子本质上都是Gordon-McIntosh所谓的通用mock theta函数 $g_3(z,q)$ 的特化。在这里，我们证明 $g_3$ 自然地来源于经典雅可比三重积的倒数——并且与单峰序列的秩生成函数密切相关，后者与mock模形式和量子模形式相关联——在统计物理和分拆理论相关算子（即Bloch-Okounkov的$q$-括号）的作用下。其次，我们发现 $g_3(z,q)$ 在 $q$ 上向整个复平面（单位圆除外）延拓，并给出了该通用mock theta函数在单位根处的有限公式，与文献中的其他此类公式相比非常简单；我们还指出了其他 $q$-超几何级数的类似公式。最后，我们研究了mock theta函数在单位圆内、外及上的有趣“量子”行为。