关于黑洞时空上 Maxwell 场的一致衰减

这是我们系统研究弯曲时空上规范场论（如 Maxwell 方程和 Yang-Mills 方程）系列论文中的第二篇。在本文中，我们研究了 Schwarzschild 黑洞外部通信域内的 Maxwell 方程。我们证明，如果假设 Maxwell 方程非稳态解的中间分量验证了围绕俘获面支持的 Morawetz 型估计，那么仅利用 Sobolev 不等式结合直接使用 Maxwell 方程的能量估计，即可证明 Maxwell 场分量在 Schwarzschild 黑洞整个外部区域（包括事件视界）的一致衰减性质。该证明完全独立于规范选择，不经过 Schwarzschild 黑洞上的标量波动方程，也无需对 Maxwell 场的中间分量进行分离。然而，直接使用 Maxwell 方程（而不参照标量波动方程）证明 Morawetz 估计，截至目前似乎仍超出数学界的能力范围，这也是本文尚未解决的问题。如果能够直接使用 Maxwell 方程证明 Morawetz 估计，将其与本文工作结合，将给出 Schwarzschild 黑洞上 Maxwell 场衰减的完整概念性证明，并且对于无法分离中间分量的 Yang-Mills 方程的非阿贝尔情形将特别有用。整篇手稿以阐述性方式撰写，详细列出了所有计算过程。