关于涉及 Franel 数的两个同余式

借助符号求和法，我们建立了如下关于 $\pi^2$ 的级数：\begin{align*} \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k-2H_{2k}}{(-3)^k k} = \frac{\pi^2}{18}, \end{align*} 其中 $H_k=\sum_{j=1}^k 1/j$。我们还导出了与该级数相关的 $p$-进同余。作为应用，我们证明了两个涉及 Franel 数的同余式，其中之一最初由 Sun 猜想。