论循环格式的普遍性与实用性

设 $k,l,m,n$ 和 $\mu$ 为正整数。一个 $\mathbb{Z}_\mu$--{\it 价为} $(k,l)$ 且 {\it 阶为} $(m,n)$ 的格式是一个 $m \times n$ 的阵列 $(S_{ij})$，其元素为子集 $S_{ij} \subseteq \mathbb{Z}_\mu$，使得对每一行和每一列分别有 $\sum_{j=1}^n |S_{ij}| = k$ 和 $\sum_{i=1}^m |S_{ij}| = l$。任何这样的格式都是一个 $(k,l)$-半正则二部电压图的代数等价物，该图的二部划分集中分别有 $n$ 和 $m$ 个顶点，且电压来自循环群 $\mathbb{Z}_\mu$。我们关注 $\mathbb{Z}_\mu$--格式的一个子类，其特征性质为：对所有 $a \in S_{ij}$，$b \in S_{ih}$，$c \in S_{gh}$ 和 $d \in S_{gj}$，其中 $i,g \in {1,...,m}$ 且 $j,h \in {1,...,n}$ 不必互异，都有 $a - b + c - d\; \not \equiv \;0$ (mod $\mu$)。这些 $\mathbb{Z}_\mu$--格式可用于表示围长 $\ge 5$ 的正则图和围长 $\ge 6$ 的半正则二部图的邻接矩阵。对于满足 $\rho k = \sigma l$ 的适当 $\rho, \sigma \in \mathbb{N}$，它们也表示多环 $(\rho \mu_k, \sigma \mu_l)$ 构形的关联矩阵，特别是所有已知的 Desarguesian 椭圆半平面的关联矩阵。部分射影闭包产生 {\it 混合 $\mathbb{Z}_\mu$-格式}，这为 Kr\v{c}adinac 的 $(34_6)$ 型 sporadic 构形以及 Balbuena 的围长为 6、顶点数少至 $2(q^2-q-2)$ 的 $(q-1)$-正则二部图提供了新构造，其中 $q$ 遍历素数幂。除了一些新结果外，本综述实质上为迄今所用的特定构造提供了以（混合）$\mathbb{Z}_\mu$--格式表述的新证明。