幂单子集的长度集系统

包含零元素的自然数全体有限子集的集合$\mathcal{P}_{{\rm fin},0}(\mathbb{N}_0)$是单子，其运算为集合加法。如果集合$A\in\mathcal{P}_{{\rm fin},0}(\mathbb{N}_0)$可以写成$A=\sum_{i=1}^{\ell} A_i$，其中$\ell\in\mathbb{N}_0$且$(A_i)_{i=1}^{\ell}$为$\mathcal{P}_{{\rm fin},0}(\mathbb{N}_0)$的不可分解元素，则$\ell$为$A$的因子分解长度，$\mathsf{L}(A)\subseteq\mathbb{N}_0$表示$A$所有可能因子分解长度的集合。我们证明，对每个$\geq 1$的有理数$q$，都存在某个$A\in\mathcal{P}_{{\rm fin},0}(\mathbb{N}_0)$，使得$q=\frac{\max(\mathsf{L}(A))}{\min(\mathsf{L}(A))}$。这支持了Fan和Tringali的猜想。