关于幂幺半群与循环群中和集的算术性质

设$H$为乘法写法的幺半群,其单位元为$1_H$(特别地,群也是此类结构)。记$\mathcal P_{\rm fin,\times}(H)$为将$H$的所有含单位的有限子集构成的集合赋予集合乘法$(X,Y) \mapsto \{xy: x \in X, y \in Y\}$所得的幺半群;并研究该结构及相关结构的算术基本特征,重点关注$\mathcal P_{\text{fin},\times}(H)$的子幺半群$\mathcal P_{\text{fin},1}(H)$,它由所有满足$1_H \in X$的$H$的有限子集$X$组成。其中我们证明:$\mathcal{P}_{\text{fin},1}(H)$是原子的(即每个非单位元都是不可约元的乘积)当且仅当对每个$x \in H \setminus \{1_H\}$有$1_H \ne x^2 \ne x$。进而得到:$\mathcal{P}_{\text{fin},1}(H)$是BF的(即它是原子的且每个元素具有有界长度的分解)当且仅当$H$是无挠的;并说明如何将这些结论转移到$\mathcal P_{\text{fin},\times}(H)$。接着,我们引入“极小分解”以应对幺半群可能具有非平凡幂等元、从而导致因子分解理论中标准定义退化的情况。相应地,我们得到$\mathcal P_{\text{fin},\times}(H)$为BmF(意为每个非单位元具有有界长度的极小分解)的条件;以及$\mathcal{P}_{\text{fin},1}(H)$为BmF、HmF(即所有同一元素的极小分解长度相同的BmF幺半群)或极小阶乘(即每个元素有本质唯一极小分解的BmF幺半群)的条件。最后,我们证明如何在$\mathcal P_{\text{fin},1}(H)$中将某些区间实现为极小长度集合。许多证明归结为考虑循环群中的和集分解,从而与算术组合学产生有趣的相互作用。