关于幂幺半群及其自同构

赋予集合加法的二元运算后，所有包含0的有限子集族$\mathcal P_{{\rm fin},0}(\mathbb N)$构成一个幺半群，以单点集$\{0\}$为单位元。我们证明$\mathcal P_{{\rm fin},0}(\mathbb N)$的唯一非平凡自同构是对合$X \mapsto \max X - X$。证明利用了加性数论的思想，并通过一种非常规归纳法进行，该归纳法基于我们称为有限整数集的箱维数，即覆盖该集合本身所需（离散）区间的最小数目。