关于某些乘法集与若干整数幂之和的整数

我们证明，如果存在满足某些同余条件的整数不能写成 $\mathbb{Z}[\exp(2\pi i/2^k)]$ 中理想的范数与至多 $k$ 个 $2$ 的幂之和（$k\geq 3$），则存在无穷多个这样的整数。此外，如果存在整数不能写成 $\mathbb{Z}[\exp(2\pi i/p)]$ 中理想的范数整数与至多 $p-2$ 个 $p$ 的幂之和（其中 $p\geq 3$ 为素数），则存在无穷多个这样的整数。最后证明，对于 $p\geq 3$ 的素数，存在无穷多个整数不能写成 $\mathbb{Z}[\exp(2\pi i/p)]$ 中理想的范数与至多 $p-2$ 个 $p$ 的幂之和。