分次$3$-Lie-Rinehart代数的结构

我们研究结合且交换的分次代数$A$上的分次$3$-Lie-Rinehart代数$\mathcal{L}$的结构。对于阿贝尔群$G$，我们证明若$(L, A)$是紧$G$-分次3-Lie-Rinehart代数，则$\mathcal{L}$与$A$分解为$\mathcal{L} =\bigoplus_{i\in I}\mathcal{L}_i$与$A =\bigoplus_{j\in J}A_j$，其中任意$\mathcal{L}_i$是$\mathcal{L}$的非零分次理想，满足对任意互不相同的$i_1, i_2, i_3\in I$有$[\mathcal{L}_{i_1}, \mathcal{L}_{i_2}, \mathcal{L}_{i_3}]=0$，且任意$A_j$是$A$的非零分次理想，满足对任意$j\neq l$的$l, j\in J$有$A_j A_l=0$，并且两种分解均满足对任意$i\in I$存在唯一$j\in J$使得$A_j \mathcal{L}_i\neq 0$。此外，任意$(\mathcal{L}_i, A_j)$是分次3-Lie-Rinehart代数。同时，在若干条件下，证明了上述$\mathcal{L}$与$A$的分解是通过它们各自的分次单理想族实现的。