分次莱布尼茨三元系的结构

我们研究由任意阿贝尔群 $G$ 分次的莱布尼茨三元系 $\mathcal{E}$ 的结构，其维数任意且基域为任意 $\mathbb{K}$。我们证明 $\mathcal{E}$ 具有形式 $\mathcal{E}=U+\sum_{[j]\in \sum^{1}/\sim} I_{[j]}$，其中 $U$ 是 1-齐次分量 $\mathcal{E}_{1}$ 的线性子空间，且 $I_{[j]}$ 是 $\mathcal{E}$ 的任意理想，满足若 $[j]\neq [k]$ 则有 $\{I_{[j]},\mathcal{E},I_{[k]}\} =\{I_{[j]},I_{[k]},\mathcal{E}\}=\{\mathcal{E},I_{[j]},I_{[k]}\}=0$，其中关系 $\sim$ 定义在 $\sum^{1}=\{g \in G \setminus \{1\} : L_{g}\neq 0\}$ 中，由 $g \sim h$ 当且仅当 $g$ 与 $h$ 相连给出。