关于 $(m+n+1)$ 维奇异球面中的随机流

已对奇异球面上的 Stratonovich 随机微分方程的随机流进行了研究。考察了在拓扑空间 $S^{m+n+1}$ 作为过程状态空间上发生的随机过程选择奇异微分结构所带来的后果。更确切地说，我们研究了这样的随机过程的性质：其所考虑随机过程的状态空间是 $({m+n+1})$ 维可微流形，它们同胚但不必微分同胚于标准 ${(m+n+1)}$ 维球面。这些可微流形由不交并 $\mathbb{R}^{m+1}\times S^{n}\sqcup S^m\times \mathbb{R}^{n+1}$ 构造而来，通过使用映射 $u :\mathbb{R}^{m+1}\times S^n\rightarrow S^m\times \mathbb{R}^{n+1}$ 识别其每一对点，该映射由微分同胚 $h_1\times h_2:S^m\times S^n\rightarrow S^m\times S^n$ 构造。因此，微分同胚 $h_1$ 和 $h_2$ 可视为所构造流形“奇异性”的载体。出于上述所有目的，已显式地以微分同胚 $h_1$ 和 $h_2$ 构造了从上述构造流形到标准球面的同胚 $h$。利用同胚 $h$ 及其由 $h_1$ 和 $h_2$ 表达且派生自它们的所有关联映射，我们构造了上述构造流形上对应于标准球面 $S^{m+n+1}_s$ 上随机过程的随机过程或流。由上述构造在构造流形上产生的随机过程可视为 $S^{m+n+1}_s$ 上相同的随机过程，但以 $S^{m+n+1}$ 上的奇异微分结构描述。