奇异微分结构与广义相对论

我们综述微分拓扑学的最新进展，特别关注其对于物理理论尤其是广义相对论的潜在意义。我们在此特别关注在拓扑简单的流形（如 $S^7$、\R 和 $S^3\times {\bf R^1}$）上存在的非标准（“伪”或“奇异”）微分结构的发现。由于光滑情形涉及的技术困难，我们从一个易于理解的玩具模型入手，考察复结构的选择在二维真空静电学表述中的作用。随后我们简要综述拓扑流形上微分结构、微分同胚及其对于物理学的意义相关的数学形式体系。我们总结了 Milnor、Freedman、Donaldson 等人在已知拓扑流形上发展奇异微分结构的重要工作。最后，我们讨论这些结果的若干几何含义，并提出关于这些从未被视作物理模型的新型流形可能具有的物理含义的若干猜想。