关于 $\mathrm{GL}_{2}$ 的 $\mathrm{Sym}^{n}$ 提升的稳定转移

遵循 \cite{MR3117742} 的范式，我们将探讨从 $\mathrm{GL}_{2}$ 到 $\mathrm{GL}_{n+1}$ 的 $\mathrm{Sym}^{n}$ 提升在任意特征为零且剩余特征不等于 $2$ 的局部域 $F$ 上的稳定转移因子。当 $F=\mathbb{C}$ 时，我们为任意 $n$ 构造了显式的稳定转移因子。当 $n$ 为奇数时，我们给出一个约化公式，在 $F$ 的剩余特征上的温和假设下，将问题约化为当 $L$-态射为从 $\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{C})$ 到有限多个 $\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{C})$ 副本的对角嵌入时稳定转移因子的构造。借助对剩余特征的假设，该约化公式在任意特征为零的局部域上一致成立，只是对 $p$-adic 情形需排除扭曲 Steinberg 表示。