椭圆复形上 Navier-Stokes 型方程的稳定性现象

设 ${\mathcal X}$ 为 $n$ 维黎曼光滑紧闭流形，$n\geq 2$，$E^i$ 为 $\mathcal X$ 上的光滑向量丛，$\{A^i,E^i\}$ 为一阶线性微分算子的椭圆微分复形。我们考虑由与 $\{A^i,E^i\}$ 关联的 Navier-Stokes 型方程所诱导的算子方程，定义在有限时间 $T > 0$ 的层 ${\mathcal X} \times [0,T]$ 上的各向异性 Hölder 空间尺度上。利用微分 $A^i$ 的性质以及该空间尺度上的抛物型算子，我们将方程化为形如 $(I+K) u = f$ 的非线性 Fredholm 算子方程，其中 $K$ 为紧连续算子。可见在所考察的每个 Banach 空间上，Fr\'echet 导数 $(I+K)'$ 在每点连续可逆，且映射 $(I+K)$ 在该空间中为开且单射。