关于Navier-Stokes方程的几何演化与微局部正则性
摘要
我们提出了一种用于三维不可压缩Navier-Stokes方程在光滑定向黎曼流形(M,g)上的微局部-黎曼框架。该动力学通过正规坐标微局部变换被提升到单位余弘束S*M，其构建因线性化系统在余切纤维变量中的主符号正齐次性而得到正当化。一旦速度场确定，提升后的动力学在紧凑相空间上的线性非自主传输-耗散方程，其系数编码原始流动的内在几何量。我们引入了微局部能量、角向体积泛函和方向熵，并分析它们在提升动力学中的耗散。一种有效仿射联结编码了速度梯度对S*M几何的反馈，产生一种类似黎克里号的微局部演化。该框架产生一个尖锐的几何等价：若且仅当至少三个内在微局部控制器——变形可积性、方向熵有界性或提升能量有界性——之一失效，平滑解才会在时间T之后无法延伸。维数分析显示，纤维体积的渐近消失导致角向各向同性，进而阻止微局部角向奇点的形成。该框架在平坦环面上得到明确说明，其中验证了所有假设，并在均匀坐标假设下推广至欧几里得空间。全局正则性问题尚未解决；相反，它被重塑为一个紧凑、受对称性约束、微局部刚性进化系统的结构稳定性问题，黏性的作用通过谱刚性得到明确。
关键词
引用
@article{arxiv.2601.08854,
title = {On Geometric Evolution and Microlocal Regularity of the Navier-Stokes Equations},
author = {Sebastián Alí Sacasa-Céspedes},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.08854},
year = {2026}
}
备注
Revised version (43 pp) addressing all referee and editor comments. We thank both for their suggestions. Major revisions include: moving main results to Section 1, refining the structure, justifying cosphere-bundle reduction via principal-symbol homogeneity, correcting the vorticity-energy identity to include the symmetric stretching term, and adding the flat torus as an explicit example