Benney 系统周期波的稳定性

我们分析了描述共振水波相互作用中短波与长波相互作用的 Benney 模型。我们特别关注周期行波，并对其进行了详细构造与研究。主要结果表明：对所有自然取值的参数，周期 dnoidal 波相对于同周期扰动是谱稳定的；对另一组自然参数，我们构造了在相同设定下呈现不稳定性的 snoidal 波。我们的结果为此背景下首批不稳定性结果。另一方面，本文所确立的谱稳定性显著改进了 Angulo-Corcho-Hakkaev 的工作——后者借助 Grillakis-Shatah 理论在参数空间子集上确立了 dnoidal 波的稳定性。我们的方法借助不稳定性指数理论，可对全部参数域给出确定答案。有趣的是，即便线性化算子是显式的，我们的谱分析仍需要对周期情形下的矩阵 Schrödinger 算子进行微妙而细致的分析，其中呈现出若干有趣特征。