关于角点区域上斯托克斯方程的解

在斯托克斯流中,与流体速度相关的流函数满足双调和方程。双调和方程在带角点区域上解的详细性态历来难以刻画。该问题最早由 Lord Rayleigh 于 1920 年研究;1973 年,S.~Osher 证明了在直角情形下域格林函数中存在无限振荡。本文中,我们观察到,当双调和方程被表述为边界积分方程时,解可表示为快速收敛的级数 $\sum_{j} ( c_{j} t^{\mu_{j}} \sin{(\beta_{j} \log{(t)})} + d_{j} t^{\mu_{j}} \cos{(\beta_{j} \log{(t)})} )$,其中 $t$ 为到角点的距离,参数 $\mu_{j},\beta_{j}$ 为实数,并通过依赖于角点角度的显式公式确定。除了在分析上清晰明了外,这些表示还适用于构造高精度且高效的数值离散,显著减少求解相应积分方程所需的自由度。结果由若干数值算例加以说明。