二维临界渗流中最大团簇的大小

我们考虑方格上的（近）临界渗流。设 $M_n$ 为包含在盒子 $[-n,n]^2$ 内的最大开团簇的大小，并设 $\pi(n)$ 为存在从 $O$ 到盒子边界的开路径的概率。众所周知，对于所有 $0< a < b$，当 $n$ 趋于无穷大时，$M_n$ 小于 $an^2 \pi(n)$ 的概率以及 $M_n$ 大于 $bn^2 \pi(n)$ 的概率均远离 0。一个自然的问题（例如在研究所谓的冻结渗流过程时出现）是：对于 $M_n$ 介于 $an^2 \pi(n)$ 和 $bn^2 \pi(n)$ 之间的概率，是否存在类似的结果。通过对盒子的适当划分以及涉及构建块的仔细构造，我们证明了该问题的答案是肯定的。$1/\pi(n)$ 的“次线性”对于该论证似乎是必不可少的。