二维临界渗流中连通概率与场的共形协变性

将渗流纳入共形场论框架需要证明连通概率具有共形不变的标度极限。对于三角晶格上的临界点渗流，我们证明对任意 $n \geq 2$，$n$ 个顶点属于同一开放簇的概率具有良定义的标度极限。此外，极限函数 $P_n(x_1,\ldots,x_n)$ 在平面 M"obius 变换以及局部共形映射下协变变换，即它们表现得如同共形场论中初级算符的相关函数。特别地，它们在平移、旋转和反转下不变，且对任意 $s>0$ 有 $P_n(sx_1,\ldots,sx_n)=s^{-5n/48}P_n(x_1,\ldots,x_n)$。这意味着对某些常数 $C_2$ 和 $C_3$，有 $P_{2}(x_1,x_2)=C_2 \Vert x_1-x_2 \Vert^{-5/24}$ 和 $P_3(x_1,x_2,x_3) = C_3 \Vert x_1-x_2 \Vert^{-5/48} \Vert x_1-x_3 \Vert^{-5/48} \Vert x_2-x_3 \Vert^{-5/48}$。我们还定义了一个点稀释自旋模型，其 $n$ 点关联函数 $\mathrm{C}_{n}$ 可用渗流连通概率表示，并因此具有与函数 $P_n$ 相同性质的良定义标度极限。特别地，$\mathrm{C}_{2}(x_1,x_2)=P_{2}(x_1,x_2)$。我们证明与该自旋模型相关的磁化场在适当的分布空间中有良定义的标度极限。极限场以指数（标度维数）$5/48$ 在 M"obius 变换下协变变换。对磁化场四点函数的启发性分析暗示存在一个额外的标度维数为 $5/4$ 的共形场，它计数渗流四臂事件的数目，并可被识别为共形场论中所谓的“四腿算符”。