二维渗流的平凡、临界及近临界标度极限

人们自然预期，平面上所有渗流界面的集合仅存在三种可能的标度极限类型：(1) 平凡极限，完全不包含任何曲线；(2) 临界极限，其中平面上的所有点都被任意大的回路所包围，且每个确定性点几乎必然被一个半径趋于零的可数无穷嵌套回路族所包围；(3) 中间极限，其中平面上的每个确定性点几乎必然被一个最大回路以及一个半径趋于零的可数无穷嵌套回路族所包围。我们展示了如何借助已知的渗流标度关系，利用初等论证证明这一结论。平凡极限对应于次临界和超临界渗流，以及当晶格间距趋于零时密度 $p$ 以足够慢的速度趋近临界概率 $p_c$ 的情形。第二种类型对应于临界渗流以及 $p$ 更快地趋近 $p_c$ 的情形。第三种即近临界类型的极限，对应于 $p$ 趋近 $p_c$ 的中间速度。在近临界情形下，确定性点几乎必然被一个最大回路所包围，这一事实证明了标度极限中宏观关联长度的持久性以及标度不变性的缺失。