关于准互补序列集的可扩展性：二次和三次定律

本文关注准互补序列集（QCSSs）的基本缩放定律，通过理解集合大小（记为$M$）如何随群大小（$K$）和序列长度（$N$）增长。我们首先建立了一个几何框架，将QCSS转换为复单位范数码本，通过该框架并利用码本的密度阈值，得到了QCSS集合大小的某些多项式上界。然后引入了尖锐的二次和三次缩放定律。具体地，我们表明具有紧致因子$\rho=1$的渐近最优QCSS满足$M \le (1+o(1))K^2N$，而渐近近最优QCSS在$\rho < {(1+\sqrt{5})}/{2}$时满足$M \le (1+o(1))K^3N^2$。为验证这些上界，我们进一步提出了基于显式加性特征和混合特征的QCSS构造，分别实现了$M = K^2N + K$和$M = K^3N^2 + 2K^2N + K$，从而表明二次和三次缩放定律是渐近紧致的。我们提出的构造允许灵活的参数选择，并且通过显式的极值例子表明其最大相关估计是紧致的。此外，我们猜想三次缩放定律对所有$1<\rho\le 2$是普适的，即任何渐近近最优QCSS应满足$M \le (1+o(1))K^3N^2$。这确定了QCSS可扩展性的一个基本三次障碍。