关于直线各向异性中的 ROF 模型：分段常数逼近与普适极小性

我们证明，$\ell^1$-各向异性 Rudin-Osher-Fatemi (ROF) 泛函的极小化子与其在直线网格上分段常数函数空间中的极小化子之间的 $L^2$ 距离为 $\mathcal{O}(h^{\frac12 - \frac{q'}{2q}})$，其中 $h$ 为网格的网格尺寸，且数据属于 $L^q$，$q \ge 2$。这些收敛速率在任意维数 $d\ge 1$ 下成立。然而，在维数 $d = 1$ 时可进一步改进为 $\mathcal{O}(h^{\frac12 - \frac{1}{2q}})$。为建立误差界，ROF 极小化子关于数据的 $L^q$ 估计至关重要。此类估计是本文第二部分导出的 ROF 极小化子普适极小性性质的特例。其中证明了，在有限维与无限维设定下，该极小化子同时在 ROF 问题凸对偶中出现的、数据邻域上的一类广泛凸泛函上取极小。这推广了此前关于紧弦与 ROF 问题的类似结果。