一类 Thomas–Fermi 型变分问题的最优衰减与正则性

我们研究由 $$E_\alpha(\rho):=\frac{1}{q}\int_{\mathbb{R}^d}|\rho(x)|^q dx+\frac{1}{2}\iint_{\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d}\frac{\rho(x)\rho(y)}{|x-y|^{d-\alpha}}dx dy-\int_{\mathbb{R}^d}V(x)\rho(x)dx,$$ 定义的 Thomas–Fermi 型能量泛函的极小子的存在性与定性性质，其中 $d\ge 2$，$\alpha\in (0,d)$，$V$ 为势函数。在对 $V$ 的广泛假设下，我们建立了整体极小子的存在性、唯一性以及诸如正性、正则性和无穷远处衰减等定性性质。无穷远处的衰减以非平凡的方式依赖于 $\alpha$ 和 $q$ 的选择。若 $\alpha\in (0,2)$ 且 $q>2$，在 $V$ 的温和正则性假设下整体极小子被证明为正，这与局部情形 $\alpha=2$ 中整体极小子通常具有紧支撑不同。我们还证明，若 $V$ 衰减得足够快，即使 $V$ 非负，整体极小子也是变号的。在此类情形下，我们建立了整体极小子的正部与限制在非负有函数上该能量极小子支撑之间的关系。我们的研究受近期石墨烯中电荷屏蔽模型的启发，其中变号极小子自然出现。