具有外生势的非局部相互作用泛函的极小元

本文旨在考虑如下非局部相互作用泛函的极小化问题 \begin{equation*} E[\rho]=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N} \int_{\mathbb{R}^N}K(x-y)\rho(x)\rho(y)dxdy+\int_{\mathbb{R}^N}F(x)\rho(x)dx. \end{equation*} 核 $K(x)=\frac{1}{q}|x|^q-\frac{1}{p}|x|^p$ 为内生势，其中 $q>p>-N$。外生势 $F$ 是一个非负连续函数，且满足当 $|x|\to +\infty$ 时 $F(x)\to +\infty$。基于集中紧致原理建立了极小元的存在性。特别地，对于 $F(x)=\beta|x|^2(\beta >0)$ 和 $K(x)=\frac{1}{2}|x|^2-\frac{1}{2-N}|x|^{2-N}$（$N>2$），通过变分法显式给出了全局极小元。