由两个区间支撑的相互作用能最小化解族

本文我们考虑一维相互作用能 $\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}(W*\rho)(x)d\rho(x) + \int_{\mathbb{R}}U(x)d\rho(x)$，其中相互作用势 $W(x)= -\frac{|x|^b}{b},\,1\le b \le 2$，外部势 $U(x)=\frac{|x|^4}{4}$，且 $\rho$ 为实数上受限的概率测度。我们的主要结果表明，当 $1<b<2$ 时，最小化解支撑于两个区间，特别地，展示了支撑区域随 $b$ 增加从区间（当 $b=1$ 时）到两个点（当 $b=2$ 时）的演变。作为证明的关键部分，我们发展了一种新的迭代扫帚算法，这一原始算法是由 Benko、Damelin、Dragnev 和 Kuijlaars 为一维中的对数势设计的。我们期望本文中的方法可以推广到研究 $\mathbb{R}^d$ 中支撑可能为环面的相互作用能最小化解。