晶格图上Thomas-Fermi-Dirac-Von Weizsäcker模型极小元的存在性与不存在性

我们论文的重点是研究晶格图$\mathbb{Z}^{3}$上Thomas-Fermi-Dirac-von Weizsäcker模型极小元存在的可能性。该模型由以下泛函描述：\begin{equation*} E(\varphi)=\sum_{y\in\mathbb{Z}^{3}}\left(|\nabla\varphi(y)|^2+ (\varphi(y))^{\frac{10}{3}}-(\varphi(y))^{\frac{8}{3}}\right)+ \sum_{x,y\in\mathbb{Z}^{3}\atop ~\ y\neq x\hfill}\frac{{\varphi}^2(x){\varphi}^2(y)}{|x-y|}, \end{equation*} 并附加约束$\sum\limits_{y\in\mathbb{Z}^{3}} {\varphi}^2(y)=m$充分小。我们还证明了当质量$m$足够大时极小元的不存在性。此外，我们将分析推广到子集$\Omega \subset \mathbb{Z}^{3}$，并在约束$|\Omega|=V$充分大的条件下，证明以下泛函极小元的不存在性：\begin{equation*} E(\Omega)=|\partial\Omega|+\sum_{x,y\in\Omega\atop ~y\neq x\hfill}\frac{1}{|x-y|}. \end{equation*}