论多维薛定谔方程归约为一阶方程及其与伪解析函数理论的关系
偏微分方程分析
2009-11-10 v1 复变函数
摘要
给定一维定态薛定谔方程（SE）的一个特解，该二阶方程可借助一个辅助的 Riccati 方程归约为一阶线性微分方程。我们证明在多维情形下类似事实也成立。我们考虑两个或三个自变量的情形。SE 的一个特解使我们能将该二阶方程归约为一个一阶四元数微分方程。与一维情形一样，这是借助一个辅助 Riccati 方程完成的。所得的一阶四元数方程等价于静态麦克斯韦方程组。在两个自变量的情形下，它是广义解析函数理论中的 Vekua 方程。我们证明即便在此情形下，也必须考虑不仅是复值函数、即 Vekua 方程的解，而是完备的四元数函数。于是该一阶四元数方程表示两个分离的 Vekua 方程，其中之一给出 SE 的解，而另一个可视为结构更简单的辅助方程。对于该辅助方程，我们总有其相应的 Bers 生成对——Bers 伪解析函数理论的基础，并且非常重要的是，辅助方程解的 Bers 导数给出主 Vekua 方程的解，并从而给出 SE 的解。我们得到了 SE 解的一个类比柯西积分定理的结果。对于一大类势（例如包含所有径向势），这一新方法为我们提供了一个简单的步骤，允许从一个已知特解出发获得 SE 的无穷解序列。
引用
@article{arxiv.math/0408172,
title = {On the reduction of the multidimensional Schroedinger equation to a first order equation and its relation to the pseudoanalytic function theory},
author = {Vladislav V. Kravchenko},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0408172},
year = {2009}
}