关于对称序的根理想化子链

若 $\Lambda$ 是一个不可分解、非极大的对称序，则根的理想化子 \Gamma := \Id(J(\Lambda)) = J(\Lambda)^{#} 是根的对偶。若 $\Gamma$ 是遗传的，则 $\Lambda$ 有一个 Brauer 树（在一些适度的附加假设下）。否则 \Delta := \Id(J(\Gamma)) = (J(\Gamma)^2)^{#} 。若 $\Lambda = \Z_p G$ 对 $p$-群 $G\neq 1$，则 $\Gamma$ 遗传当且仅当 $G\cong C_p$，否则 $[\Delta : \Lambda ] = p^2 | G/(G'G^p)|$。对阿贝尔群 $G$，$\Z_pG$ 的根理想化子链的长度为 $(n-a)(p^{a} - p^{a-1})+p^{a-1}$，其中 $p^n$ 为 $G$ 的 Sylow $p$-子群的阶，$p^a$ 为其指数。