关于Quot概形 $\mathrm{Quot}_{\mathcal O_{\mathbb P^1}^r/\mathbb P^1/k}^d$

我们考虑 $\mathcal F^r$ 的局部自由商层的Quot概形 $\mathrm{Quot}^d_{\mathcal F^r/ \mathbb P^1/ k}$，其中 $\mathcal F^r:= \bigoplus ^{ r} \mathcal O_{\mathbb P^1 }$，其Hilbert多项式为 $p(t)=d$。我们证明它是一个维数为 $dr$ 的光滑簇，局部同构于 $\mathbb A^{dr}$。我们为 $\mathrm{Quot}^d_{\mathcal F^r/ \mathbb P^1/ k}$ 中的模引入一个新的支撑(support)概念，称为Hilb-支撑，它使我们能定义一个自然的概形态射 $\xi :\mathrm{Quot}^d_{\mathcal F^r/ \mathbb P^1/ k} \to \mathrm{Hilb}^d_{\mathcal O_{\mathbb P^1}}$，将每个模映射到其Hilb-支撑，并研究 $\xi$ 在 $\mathrm{Hilb}^d_{\mathcal O_{\mathbb P^1}}$ 的每个 $k$-点 $Z$ 上的纤维。若 $Z=Y_1+\dots+Y_n$，其中 $Y_j=t_jR_j$，$R_1, \dots, R_n$ 为互异点，则 $\xi$ 在 $Z$ 上的纤维同构于 $\mathrm{Quot}^{t_1}_{\mathcal F\otimes \mathcal O_{Y_1}/ Y_1/ k}\times\dots \times \mathrm{Quot}^{t_n}_{\mathcal F\otimes \mathcal O_{Y_n}/ Y_n/ k}$。然后我们研究Quot概形 $\mathrm{Quot}^{t}_{\mathcal F^r\otimes \mathcal O_{Y}/ Y/ k}$，其中 $Y=tR$。对于 $t=1$，$\mathrm{Quot}^{t}_{\mathcal F^r\otimes \mathcal O_{Y}/ Y/ k}$ 同构于 $\mathbb P^{r-1}$；而对于 $t\geq 2$，我们证明它由维数为 $t(r-1)$ 的一个主不可约、约化且奇异分支和一些维数更低的嵌入分支组成。