论高斯整数中相对素数的概率

本文研究了数域整数环中相对素数背景下概率、数论与几何之间的相互作用。特别是，我们将概率思想与整数格及数域上的 zeta 函数理论相结合，以证明 $$P(\gcd(z_{1},z_{2})=1) = \frac{1}{\zeta_{\Q(i)}(2)}$$ 其中 $z_{1},z_{2} \in \mathbb{Z}[i]$ 为随机选取，$\zeta_{\Q(i)}(s)$ 为高斯整数上的 Dedekind zeta 函数。我们的证明概述了一种基于格论的方法，用于将该定理推广至任意为主理想域的数域。