量子物理通过功能积分的物理与数学基础

为了保持作用原理在制定所有场论中的首要地位，我们需要量子场论，以及随之而来的 BRST 对称性和 Feynman-DeWitt-Faddeev-Popov 鬼场。这些场源于历史空间的纤维束结构，但由于缺乏严致的测度和积分理论，物理文献中仅形式地使用了它们。以此为动机，本文利用 Gill 和 Zachary 之前的工作，其中提出了对 Feynman 积分使用 Banach 空间的做法。首先介绍 Henstock-Kurzweil 积分，因为它使得像指数函数这样的函数（即 $i$ 乘以平方项）可被积分。随后构建 Lebesgue 测度在 $\mathbb{R}(\infty)$ 上，并用于定义每个可分 Hilbert 空间上的测度。下一步是构造一个新的 Hilbert 空间 $KS^2$，其中包含 $\mathbb{R}^n$ 上平方可积函数的连续稠密嵌入，并将测试函数及其对偶—— Schwartz 分布空间——作为连续嵌入。该空间允许我们以一种保持其直观和计算优势的方式构建 Feynman 路径积分。我们还将该空间扩展到 $KS^2[H]$，其中 $H$ 为任意可分 Banach 空间。最后，证明了唯一的通用时间定义 $\tau(h)$，称为历史时间。我们将 $\tau(h)$ 作为构建 Feynman 时序算子计算的顺序参数，进而用于扩展路径积分，以包含具有核函数的所有时变群和半群。