关于L_p-最小化(0≤p≤1)稀疏恢复性能的研究
信息论
2010-11-30 v1 math.IT
摘要
已知高维稀疏向量x*∈R^n可以从低维测量y=A^{m×n}x* (m<n)中恢复。本文研究了当p变化时，l_p-最小化(0≤p≤1)的恢复能力，其中l_p-最小化在所有满足Ax=y的向量x中返回具有最小l_p“范数”的向量。除了分析需要恢复达到一定稀疏度的所有稀疏向量的强恢复性能外，我们还首次分析了l_p-最小化(0≤p<1)的“弱”恢复性能，其目标是恢复一个支撑集上具有固定符号模式的所有稀疏向量。当m/n趋近于1时，我们提供了通过l_p-最小化区分成功与失败的稀疏比率的尖锐阈值。对于强恢复，随着p从0增加到1，阈值从0.5严格下降到0.239。令人惊讶的是，对于弱恢复，所有p∈[0,1)的阈值均为2/3，而l_1-最小化的阈值为1。我们还明确证明了l_p-最小化(p<1)可以返回比l_1-最小化更稠密的解。对于任意m/n<1，我们分别给出了强恢复和弱恢复的稀疏比率上界，低于该上界时l_p-最小化以压倒性概率成功。当m/n较大时，我们的强恢复上界优于现有上界。关于恢复阈值，对于强恢复，p越小，l_p-最小化的阈值越高；对于截面恢复，所有p的阈值相同；对于弱恢复，l_1-最小化可以优于l_p-最小化。这些与传统观点（即l_p-最小化比l_1-最小化具有更好的稀疏恢复能力，因为它更接近l_0-最小化）形成对比。我们为我们的发现提供了直观解释，并使用数值例子说明理论预测。
引用
@article{arxiv.1011.5936,
title = {On the Performance of Sparse Recovery via L_p-minimization (0<=p <=1)},
author = {Meng Wang and Weiyu Xu and Ao Tang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1011.5936},
year = {2010}
}