关于 β=6 的 β-系综 Tracy-Widom 分布的一个开放问题

我们完全确定了 Dyson 的 $\beta$-系综在 $\beta=6$ 时的 Tracy-Widom 分布。一般 $\beta>0$ 的 $\beta$-系综的 Tracy-Widom 分布问题已归结为寻找具有指定边界的 Bloemendal-Vir\'ag 方程的有界解。Rumanov 提出了一种 Lax 对方法来求解偶数整数 $\beta$ 的 Bloemendal-Vir\'ag 方程。他也专门用其方法研究了 $\beta=6$ 情形，并找到了 $\beta=6$ 时 Tracy-Widom 分布对数导数的二阶非线性常微分方程（ODE）。Grava 等人继续研究 $\beta=6$，发现 Rumanov 的 Lax 对在此情形下与 Painlev\'e II 的 Lax 对等价。他们从 Rumanov 的基本思想出发，归结出两个辅助函数 ${\alpha}(t)$ 和 $q_2(t)$，它们满足一个耦合一阶 ODE。Grava 等人提出的开放问题是：是否存在满足边界条件 ${\alpha}(\infty)=0$ 和 $q_2(\infty)=1$ 的 ODE 的整体光滑解。通过研究与 $q_2$ 和 ${\alpha}$ 相关的线性方程，我们对该开放问题给出了肯定回答。此外，我们发现具有 ${\alpha}(\infty)=0$ 和 $q_2(\infty)=1$ 的 ODE 解由 $c_1$ 和 $c_2$ 参数化。并非所有 $c_1$ 和 $c_2$ 都给出整体光滑解。但如果 $(c_1, c_2) \in R_{smooth}$，其中 $R_{smooth}$ 是包含 $(0,0)$ 的一个大区域，则它们确实给出。我们证明所构造的解是具有所需边界条件的 Bloemendal-Vir\'ag 方程的有界解，当且仅当 $(c_1,c_2)=(0,0)$。