关于 H-自由超图的数目

极端组合论的两个核心问题关心估计最大 H-自由超图的大小 $ex(n,H)$ 以及 H-自由超图的数目 $forb(n,H)$。虽然已知对于非 k-分部的 k-统一超图，$forb(n,H)=2^{(1+o(1))ex(n,H)}$ 成立，但对于 k-分部（或退化）的超图估计远不如此紧密。在一次突破中，Ferber、McKinley 和 Samotij 证明了对于许多退化超图 H，$forb(n, H) = 2^{O(ex(n,H))}$。然而，已知具有 $forb(n,H)=2^{(1+o(1))ex(n,H)}$ 的退化超图 H 实例寥寥无几。本文我们证明 forb(n,H)=2^{(1+o(1))ex(n,H) 对广泛称为 2-可收缩超树的退化超图 H 成立。这是一个已知的第一个无限退化超图 H 族，使得 forb(n,H)=2^{(1+o(1))ex(n,H) 成立。作为我们主要结果的推论，我们获得了对 $forb(n,C^{(k)}_\ell)=2^{(\lfloor\frac{\ell-1}{2}\rfloor+o(1))\binom{n}{k-1}}$ 的惊人精确的估计，这是针对所有 $k\geq 5, \ell\geq 3$ 的 k-均匀线性 $\ell$-环，进一步肯定了 Balogh、Narayanan 和 Skokan 对所有 $k\geq 5, \ell\geq 3$ 的疑问。我们的方法也导致了关于相应随机 Turan 问题的一些相关精确结果。作为我们证明的关键要素，我们发展了一种新型的超饱和变体，用于集合系统的 delta 系统方法，这可能独立地具有兴趣。