关于非局部 Cahn-Hilliard-Brinkman 与 Cahn-Hilliard-Hele-Shaw 系统

在多孔介质中，等温不可压缩双流体相分离可由所谓的 Brinkman 方程与对流 Cahn-Hilliard (CH) 方程耦合来描述。前者控制平均速度场 $\mathbf{u}$，后者控制 $\varphi$（两相（相对）浓度差）的演化。这两个方程为 Cahn-Hilliard-Brinkman (CHB) 系统。特别地，Brinkman 方程是一个类 Stokes 方程，带有与 $\mu\nabla\varphi$ 成正比的强迫项（Korteweg 力），其中 $\mu$ 为化学势。当粘度消失时，该系统变为 Cahn-Hilliard-Hele-Shaw (CHHS) 系统。两个系统都已从理论和数值角度被研究。然而，关于 CHHS 系统的理论结果仍相当不完整。例如，弱解的唯一性即使在二维中也未知。此处我们用物理上更相关的非局部版本替代通常的 CH 方程。这一选择使我们能更多地证明相应的非局部 CHHS 系统。更精确地，我们首先研究具有无滑移和无通量边界条件的 CHB 系统的适定性。然后，将 CHHS 系统的弱解存在性作为 CHB 系统解的极限得到。对初始数据更强的假设使我们能证明 CHHS 系统的唯一性。通过假设相互作用核额外但合理的假设，获得了进一步的正则性性质。利用这些性质，我们给出了 CHB 系统解与关于粘度的 CHHS 系统解之间差异的估计。