扭曲 $\mathbb T^4$ 上多分数即时力的模空间

具有拓扑电荷 $Q = r/N$，$1 \leq r \leq N-1$ 的 $SU(N)$ Yang-Mills 即时力在 $\mathbb T^4$ 上的模空间目前备受关注，但尚未完全理解。本文从 't Hooft 的常数场强 ($F$) 即时力解（即已知在 $\mathbb T^4$ 上唯一的精确解）开始，通过分析和格子工具探索模空间。这些解由两个正整数 $k, \ell$ 给出，满足 $k+\ell=N$，且在 $\mathbb T^4$ 边长 $L_\mu$ 调节为 $k L_1 L_2 = r \ell L_3 L_4$ 时为自旋解。当 gcd$(k,r) = r$ 时，我们证明（通过解析方法和数值计算（$N=3$ 情形）），常数-$F$ 解是调谐 $\mathbb T^4$ 上唯一的自旋解，具有 $4r$ 个 holonomy 模。相反，当 gcd$(k,r) \ne r$ 时，我们认为常数-$F$ 自旋解除拥有 $4\text{gcd}(k,r)$ 个 holonomy 之外，还拥有 $4r - 4\text{gcd}(k,r)$ 个额外模量，启用这些模量后使场强变为非阿贝尔且非常数。因此，当 gcd$(k,r) \ne r$ 时，'t Hooft 的常数-$F$ 解在调谐 $\mathbb T^4$ 上的模空间中是一个测度为零的子集，解释了 arXiv:2307.04795 中遇到的谜题。我们还指出，对 $r = k = 2$，$N = 3$ 情形，略微调谐 $\mathbb T^4$ 上的近似解析解与通过最小化格子作用获得的 $Q=2/3$ 自旋配置之间的一致性是令人惊叹的。