关于带 II 型记忆的 MGT 方程

我们考虑带 II 型记忆的 Moore-Gibson-Thompson 方程 $$\partial_{ttt} u(t) + \alpha \partial_{tt} u(t) + \beta A \partial_t u(t) + \gamma Au(t)-\int_0^t g(t-s) A \partial_t u(s){\rm d} s=0$$ 其中 $A$ 为严格正自伴线性算子（有界或无界），且 $\alpha,\beta,\gamma>0$ 满足关系 $\gamma\leq\alpha\beta$。首先，我们证明了适定性结果，无需对 $g$ 的总质量 $\varrho$ 施加任何限制。然后我们表明，总能找到满足通常质量限制 $\varrho<\beta$ 的记忆核 $g$，使得方程存在能量呈指数快速增长的解。特别地，这回答了 “F. Dell'Oro, I. Lasiecka, V. Pata, J. Differential Equations 261 (2016), 4188-4222” 中提出的问题。