求解具有记忆效应的非局部方程的显式 Runge-Kutta 算法：以 Maxey-Riley-Gatignol 方程为例

当常微分方程描述动力系统时，采用 Runge-Kutta 或相关格式求解是标准方法。然而，此类格式不适用于大量不构成动力系统的方程。在若干物理系统中，我们遇到带有记忆项的积分微分方程，其中某一时刻状态变量的时间导数依赖于系统的所有过去状态。其次，有些方程的解没有良定义的泰勒级数展开。描述非均匀非定常流中惯性粒子动力学的 Maxey-Riley-Gatignol 方程同时呈现这两种挑战。我们以其为试验平台来解决所提出的问题，但我们的方法可应用于该类所有方程。我们表明，Maxey-Riley-Gatignol 方程可嵌入一个扩展的马尔可夫系统，该系统通过引入一个新的动态共演化状态变量来编码过去状态的记忆而构造。我们为所得马尔可夫系统开发了 Runge-Kutta 算法。推导该 Runge-Kutta 格式所涉及的核函数形式需要使用 $t^{1/2}$ 的幂次展开。我们的方法自然继承了标准时间积分器的优点，即恒定的内存存储开销、计算量随模拟时间线性增长，以及能以最终状态为新初值重启模拟的能力。