高阶等谱符号 Runge-Kutta 方法的高效实现

等谱 Runge-Kutta 方法适用于求解等谱系统的数值求解，如刚体和 Toda 链。最近，这些积分器被应用于地理流体模型，其中其等谱属性提供了对此类系统长期行为的洞见。然而，higher-order 等谱 Runge-Kutta 方法需要求解大量隐式方程。这使得隐式中点规则成为最常使用的选项，due to its relative simplicity and computational efficiency。在本 work 中，我们引入一种 novel algorithm 来简化 general 等谱 Runge-Kutta 积分器的实现。我们的 approach 利用 block matrix 结构将每个时间步的隐式方程数减少到一个。这个方程可以efficiently 使用 fixed-point iteration 求解。我们 presented numerical experiments comparing performance and accuracy of higher-order integrators implemented with our algorithm against the implicit midpoint rule。结果表明，对于 low-dimensional 系统，higher-order 积分器在保守性方面具有 improved performance，同时保持可比的计算成本。对于 high-dimensional 系统，虽然 our algorithm 仍显示出更好的保守性，但性能不够具竞争力，though 通过 parallelization 可以得到改进。