关于 $C_4$ 自由图中生成树的最大数

我们提出一种“Kirchhoff--Turán”变体的极端 $C_4$ 问题：在所有简单连通 n 顶点 $C_4$ 自由图 $G$ 中，最大化生成树数量 $\tau(G)$。对于平面计 order $n=q^2+q+1$，我们通过极性谱恒等式和 Kirchhoff 矩阵树定理计算出正交极性图 $ER_q$ 的确切公式：$\tau(ER_q)=n^{(n-3)/2}$。我们还给出在这些 $n$ 值上 $\mathrm{st}(n,C_4)$ 的显式一般上界，采用 $\tau(G)$ 的锐利度数序列不等式和度数平衡论证；这与上式在主指数项上的下界相吻合。