Arborescences 的极值问题

本文研究以下 extremal 图论问题：给定无向欧拉图 $G$，哪种欧拉方向能最小化或最大化生成树的数量？我们解答了完备图 $K_n$、完备二分图 $K_{n,m}$ 以及所谓双图（即任意两点间边数为偶数）的最小化问题。事实上，对于 $K_n$ 我们证明了更强的结论：若 $T$ 为 $n$ 个顶点的比赛图，其出度序列为 $d_1^+,\dots ,d^+_n$，则 $$\mathrm{allarb}(T)\geq \frac{1}{n}\left(\prod_{k=1}^n(d^+_k+1)+\prod_{k=1}^nd^+_k\right),$$ 其中 $\mathrm{allarb}(T)$ 为生成树的总数。当且仅当 $T$ 为局部传递比赛图时等号成立。我们还给出任意图 $G$ 欧拉方向生成树数目的上界。该上界在 $K_n$ 上对无穷多个 $n$ 可实现。