两相 Stokes 预解方程解算子族的 $\mathcal{R}$-有界性

本文旨在证明在 $\dot\Omega=\Omega_+\cup\Omega_-$ 中两相 Stokes 预解方程存在 $\mathcal{R}$-有界的解算子族，其中 $\Omega_\pm$ 是 $N$ 维欧氏空间 $\mathbf{R}^N$ ($N\geq 2$, $N<r<\infty$) 中的一致 $W_r^{2-1/r}$ 域。更确切地说，给定一个具有两个边界 $\Gamma_\pm$ 且满足 $\Gamma_+\cap\Gamma_-=\emptyset$ 的一致 $W_r^{2-1/r}$ 域 $\Omega$，我们假设存在某个超曲面 $\Gamma$ 将 $\Omega$ 分割为两个子区域，即存在区域 $\Omega_\pm\subset\Omega$ 使得 $\Omega_+\cap\Omega_-=\emptyset$ 且 $\Omega\setminus\Gamma=\Omega_+\cup\Omega_-$，其中 $\Gamma\cap\Gamma_+=\emptyset$，$\Gamma\cap\Gamma_-=\emptyset$，并且 $\Omega_\pm$ 的边界分别由 $\Gamma$ 和 $\Gamma_\pm$ 两部分组成。区域 $\Omega_\pm$ 分别充满了密度为 $\rho_\pm$、粘度为 $\mu_\pm$ 的粘性、不可压缩且不相混溶的流体。这里 $\rho_\pm$ 为正常数，而 $\mu_\pm=\mu_\pm(x)$ 是 $x\in\mathbf{R}^N$ 的函数。在边界 $\Gamma$、$\Gamma_+$ 和 $\Gamma_-$ 上，我们分别考虑界面条件、自由边界条件和 Dirichlet 边界条件。我们还利用 $\mathcal{R}$-有界的解算子族，证明了与两相 Stokes 预解方程相关的含时问题具有某种极大 $L_p\text{-}L_q$ 正则性以及解析半群的生成性。这类问题出现在对具有自由表面的两种粘性、不可压缩且不相混溶流体运动的数学研究中。