波动柱面上 Schiffer 超定问题的变号解

本文中，我们证明了存在 $k$ 族光滑无界区域 $\Omega_s\subset\mathbb{R}^{N+1}$（$N\geq1$），其中 \begin{equation} \Omega_s=\left\{(x,t)\in \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}:\vert x\vert<1+s\cos \left(\frac{2\pi}{T(s)}t\right)+s w_s\left(\frac{2\pi}{T(s)}t\right)\right\},\nonumber \end{equation} 使得 \begin{equation} -\Delta u=\lambda u\,\, \text{in}\,\,\Omega, \,\, \partial_\nu u=0,\,\,u=\text{const}\,\,\text{on}\,\,\partial\Omega\nonumber \end{equation} 存在恰有 $k+1$ 个节点域的有界变号解。这些结果可视为无界区域上 Schiffer 猜想的反例。这些结果也表明存在不具有 Pompeiu 性质的非球形无界区域。我们的构造表明“$\partial\Omega$ 同胚于单位球面”这一条件是 Williams 猜想成立所必需的。此外，这些结论在遥感或 CT 中可能具有潜在应用。