环域上的Schiffer型问题及其在定常平面Euler流中的应用

若在光滑有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ 上存在一个非常数的Neumann特征函数 $u$，其在边界上局部为常数，则 $\Omega$ 是否必为圆盘或环域？该问题可理解为著名Schiffer猜想的一个较弱类比，因为函数 $u$ 允许在 $\partial \Omega$ 的每个连通分支上取不同的常数值，而原问题的许多已知刚性性质基本得以保留。我们的主要结果通过构造一族具有上述性质的 nontrivial 双连通域 $\Omega$ 给出了否定答案。由此，域 $\Omega$ 与补集 $\mathbb{R}^2\backslash\overline{\Omega}$ 有界分支的指示函数的某种线性组合不具有Pompeiu性质。此外，我们的构造意味着存在连续的、紧支撑的二维不可压缩Euler方程的定常弱解，其不是局部径向的。