关于线性与偶正交群上建模的 K_2 的 A^1-不变性

设 $k$ 为任意域。本文中我们证明，在线性情形（$\Phi=\mathsf{A}_\ell$，$\ell \geq 4$）与偶正交情形（$\Phi = \mathsf{D}_\ell$，$\ell\geq 7$，$\mathrm{char}(k)\neq 2$）下，不稳定函子 $\mathrm{K}_2(\Phi, -)$ 在几何情形具有 $\mathbb{A}^1$-不变性，即对含 $k$ 的正则环 $R$ 有 $\mathrm{K}_2(\Phi, R[t]) = \mathrm{K}_2(\Phi, R)$。由此，不稳定 $\mathrm{K}_2$ 群可在不稳定 $\mathbb{A}^1$-同伦范畴 $\mathscr{H}_\bullet(k)$ 中表示为单连通 Chevalley--Demazure 群概形 $\mathrm{G}(\Phi,-)$ 的基本群。我们的不变性结果可视为 Bass--Quillen 猜想几何情形的 $\mathrm{K}_2$-类比。我们还证明了对半局部正则 $k$-代数 $A$，有 $\mathrm{K}_2(\Phi, A)$ 嵌入为 $\mathrm{K}^\mathrm{M}_2(\mathrm{Frac}\,A)$ 的子群。