关于一对线性映射的“Mandelbrot集”与复 Bernoulli 卷积

我们考虑由 Barnsley 与 Harrington 于 1985 年引入、并由 Bousch、Bandt 等人研究的一对复线性映射的“Mandelbrot 集” $M$。它被定义为单位圆盘内使得迭代函数系统 $\{\lambda z-1, \lambda z+1\}$ 的吸引子 $A_\lambda$ 连通的参数 $\lambda$ 的集合。我们证明 $M$ 在虚轴附近的一个非平凡部分包含于其内部闭包中（猜想 $M$ 的所有非实点均在其内部点集合的闭包中）。接下来我们转向吸引子 $A_\lambda$ 本身以及支撑于其上的自然测度 $\nu_\lambda$。这些测度是被广泛研究的无穷 Bernoulli 卷积的复类比。推广 Erdős 与 Garsia 的结果，我们说明了某些类的复代数整数如何产生奇异与绝对连续测度 $\nu_\lambda$。随后我们研究对 Lebesgue 几乎处处的 $\lambda\in M$，$A_\lambda$ 的 Hausdorff 维数与测度。我们还得到了关于对模大于 $\sqrt{1/2}$ 的几乎处处 $\lambda$，$\nu_\lambda$ 绝对连续性的部分结果。